伯努利数

伯努利数是一个用于解决 $n$ 次方和的数列。

它的递归定义公式如下：

$\sum_{i=0}^n \binom {n+1}{i} B_i=[n=0] ~~~~~~~~ (1.1)$

通过这个定义可以得到伯努利数的前几项：$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{6},0...$

令 $S_m(n)=\sum_{i=0}^{n-1} i^m$ ，伯努利通过找规律发现了伯努利公式：

$S_m(n)=\frac{1}{m+1} \sum_{i=0}^m \binom {m+1} i B_i n^{m+1-i} ~~~~~~~~ (1.2)$

《具体数学》上给出的证明如下：

$S_{m+1}(n)+n^{m+1}=\sum_{i=0}^ni^{m+1}=\sum_{i=0}^{n-1} (i+1)^{m+1}$

$=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{m+1} \binom {m+1}{j} i^j$

$=\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}{j} \sum_{i=0}^{n-1} i^j$

$~~~~~~~~~~~~~~~~ =\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}{j} S_j(n) ~~~~~~~~ (1.3)$

由$(1.3)$两边同时减去得，

$S_{m+1}(n)=\sum_{j=0}^{m}\binom {m+1}{j} S_j(n) ~~~~~~~~ (1.4)$

设 $S'_ m(n)$ 为$(1.2)$ 右式 ， $\Delta=S_m(n)-S'_m(n)$。

归纳证明 $S_m(n)=S'_m(n)$：

1.当 $m=0$ 时成立。

2.设对于 $\forall i\in[0,m),S_i(n)=S'_ i(n)$, 由 $(3.4)$ 得：

$n^{m+1}=\sum_{j=0}^{m} \binom{m+1}{j} S'_ {j}(n)+ \binom{m+1}{m} \Delta ~~~~~~ \text{(只有j=m时有差异)}$

$~~~~~~~~~~~~~~ =\sum_{j=0}^{m} \binom{m+1}{j} \frac{1}{j+1} \sum_{k=0}^j \binom {j+1} k B_k n^{j+1-k} + (m+1) \Delta ~~~~~~ \text{(化简代入)}$

$=\sum_{j=0}^{m} \sum_{k=0}^j \binom{m+1}{j} \binom {j+1} k \frac{B_k}{j+1} n^{j+1-k} + (m+1) \Delta$

$~~~~~~~~~~~~~~ =\sum_{j=0}^{m} \sum_{k=0}^j \binom{m+1}{j} \binom {j+1} {j-k} \frac{B_{j-k}}{j+1} n^{k+1} + (m+1) \Delta ~~~~~~ \text{(将k换为j-k)}$

$~~~~~~~~~~~~~~ =\sum_{j=0}^{m} \sum_{k=0}^j \binom{m+1}{j} \binom {j+1} {k+1} \frac{B_{j-k}}{j+1} n^{k+1} + (m+1) \Delta ~~~~~~ (\binom {n}{m} = \binom {n}{n-m})$

$=\sum_{k=0}^{m} \sum_{j=k}^{m} \binom{m+1}{j} \binom {j+1} {k+1} \frac{B_{j-k}}{j+1} n^{k+1} + (m+1) \Delta$

$~~~~~~~~~~~~~~~ =\sum_{k=0}^{m} \sum_{j=k}^{m} \binom{m+1}{j} \binom {j} {k} * \frac{j+1}{k+1} * \frac{B_{j-k}}{j+1} n^{k+1} + (m+1) \Delta ~~~~~~ (\binom{n+1}{m+1}=\binom{n}{m} \times \frac{n+1}{m+1})$

$=\sum_{k=0}^{m} \frac{n^{k+1}}{k+1} \sum_{j=k}^{m} \binom{m+1}{j} \binom {j} {k} B_{j-k} + (m+1) \Delta$

$=\sum_{k=0}^{m} \frac{n^{k+1}}{k+1} \binom{m+1}{k} \sum_{j=k}^{m} \binom{m+1-k}{j-k} B_{j-k} + (m+1) \Delta$

$=\sum_{k=0}^{m} \frac{n^{k+1}}{k+1} \binom{m+1}{k} \sum_{j=0}^{m-k} \binom{m+1-k}{j} B_{j} + (m+1) \Delta$

$=\sum_{k=0}^{m} \frac{n^{k+1}}{k+1} \binom{m+1}{k} [m-k=0] + (m+1) \Delta ~~~~~ (\text{将(1.1)}带$

$=\frac{n^{m+1}}{m+1} \binom{m+1}{m} + (m+1) \Delta$

$=n^{m+1} + (m+1) \Delta$

所以 $(m+1)\Delta=0$ , 又 $m \ge 1$ , 所以 $\Delta=0$ ， 证毕。