伯努利数是一个用于解决 n 次方和的数列。
它的递归定义公式如下:
i=0∑n(in+1)Bi=[n=0] (1.1)
通过这个定义可以得到伯努利数的前几项:1,−21,61,0...
令 Sm(n)=∑i=0n−1im ,伯努利通过找规律发现了伯努利公式:
Sm(n)=m+11i=0∑m(im+1)Binm+1−i (1.2)
《具体数学》上给出的证明如下:
Sm+1(n)+nm+1=i=0∑nim+1=i=0∑n−1(i+1)m+1
=i=0∑n−1j=0∑m+1(jm+1)ij
=j=0∑m+1(jm+1)i=0∑n−1ij
=j=0∑m+1(jm+1)Sj(n) (1.3)
由(1.3)两边同时减去得,
Sm+1(n)=j=0∑m(jm+1)Sj(n) (1.4)
设 Sm′(n) 为(1.2) 右式 , Δ=Sm(n)−Sm′(n)。
归纳证明 Sm(n)=Sm′(n):
1.当 m=0 时成立。
2.设对于 ∀i∈[0,m),Si(n)=Si′(n), 由 (3.4) 得:
nm+1=j=0∑m(jm+1)Sj′(n)+(mm+1)Δ (只有j=m时有差异)
=j=0∑m(jm+1)j+11k=0∑j(kj+1)Bknj+1−k+(m+1)Δ (化简代入)
=j=0∑mk=0∑j(jm+1)(kj+1)j+1Bknj+1−k+(m+1)Δ
=j=0∑mk=0∑j(jm+1)(j−kj+1)j+1Bj−knk+1+(m+1)Δ (将k换为j-k)
=j=0∑mk=0∑j(jm+1)(k+1j+1)j+1Bj−knk+1+(m+1)Δ ((mn)=(n−mn))
=k=0∑mj=k∑m(jm+1)(k+1j+1)j+1Bj−knk+1+(m+1)Δ
=k=0∑mj=k∑m(jm+1)(kj)∗k+1j+1∗j+1Bj−knk+1+(m+1)Δ ((m+1n+1)=(mn)×m+1n+1)
=k=0∑mk+1nk+1j=k∑m(jm+1)(kj)Bj−k+(m+1)Δ
=k=0∑mk+1nk+1(km+1)j=k∑m(j−km+1−k)Bj−k+(m+1)Δ
=k=0∑mk+1nk+1(km+1)j=0∑m−k(jm+1−k)Bj+(m+1)Δ
=k=0∑mk+1nk+1(km+1)[m−k=0]+(m+1)Δ (将(1.1)带
=m+1nm+1(mm+1)+(m+1)Δ
=nm+1+(m+1)Δ
所以 (m+1)Δ=0 , 又 m≥1 , 所以 Δ=0 , 证毕。